/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Trygonometryczne/Z ułamka

Zadanie nr 8229728

Oblicz całkę ∫ -----dx----- 2sinx− cos x+ 5 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Stosujemy podstawienie uniwersalne x t = tg 2 .

∫ || x --2- || --------dx-------- = || t = tg 2 2 dx = 1+t2dt|| = 2sin x − cosx + 5 |co sx = 1−t2- sin x = -2t2| ∫ 2 1+t ∫ 1+t ---------1+--t----------- --2--- ----dt------ = 4t− (1 − t2) + 5(1 + t2) ⋅ 1+ t2dt = 3t2 + 2t + 2 .

Ostatnią całkę obliczamy korzystając ze wzoru

∫ dx 1 x + a -------2---- = √---arctg -√----+ C, dla k > 0. (x + a) + b b b

Liczymy

∫ dt 1 ∫ dt --2--------- = -- -----1-2---5 = 3t + 2t+ 2 3 (t+ 3) + 9 1 3 3t+ 1 1 3t + 1 = --⋅ √--a rctg -√---- + C = √---arctg--√--- + C 3 5 5 5 5

Stąd

∫ dx 1 3tg x+ 1 ------------------= √---arctg ---√2----+ C. 2sin x− cosx + 5 5 5

 
Odpowiedź: -1- 3tg x2+-1 √ 5 a rctg √ 5 + C

Wersja PDF