Zadanie nr 9377471

Oblicz całkę ∫ ---dx---- sin2xcosxdx .

Rozwiązanie

Mnożymy licznik i mianownik wyrażenia podcałkowego przez sinx tak, aby móc podstawić t = cos x .

∫ ∫ ∫ -------dx--------dx = -----dx------dx = 1- ----sin-x----dx = 2 sin x cosx cosx 2 sin|x cos2x 2| sin2 xcos2 x 1 ∫ sin x | t = co sx | 1 ∫ dt = -- ---2----------2---dx = ||dt = − sinxdx || = − -- 2------2-dt. 2 cos x (1− cos x) 2 t(1 − t )

Liczymy otrzymaną całkę z funkcji wymiernej zmiennej .

∫ ∫ ( ) ∫ ----dt----dt = 1-+ --1--- dt = − 1-+ --dt-- = t2(1 − t2) t2 1− t2 t 1 − t2 ∫ ∫ ( ) = − 1+ ------dt------ = − 1-+ 1- --1--+ --1-- dt = t (1 − t)(1 + t) t 2 1 − t 1 +| t | 1 1 1 1 1 |1 + t| = − -− --ln |1− t|+ --ln|1 + t|+ C = − --+ -ln ||-----||+ C. t 2 2 t 2 1 − t

Zatem

∫ | | ----dx----- ---1--- 1- ||1+--cosx-|| sin2x cos xdx = 2co sx − 4 ln |1− cosx |+ C .