/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Trygonometryczne/Z ułamka

Zadanie nr 9479355

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ sin4x- cosx dx .

Rozwiązanie

Mnożymy licznik i mianownik wyrażenia podcałkowego przez cos x tak, aby móc podstawić t = sin x .

∫ 4 ∫ 4 | | ∫ 4 sin--xdx = -sin--x cosxdx = || t = sin x || = --t---dt. cosx co s2x |dt = cosxdx | 1− t2

Otrzymaliśmy całkę z funkcji wymiernej zmiennej t .

∫ t4 ∫ (t4 − 1)+ 1 ∫ ( 1 ) ------dt = − ------------dt = − t2 + 1 +------ dt = 1 − t2 t2 − 1 (t2 − 1 ) 1 3 ∫ dt 1 3 1 ∫ 1 1 = − --t − t− -------------- = − --t − t − -- ----- − ----- dt = 3 (t − 1)(t+ 1) 3 2 t − 1 t +| 1 | 1-3 1- 1- 3 1- ||t-+-1|| = − 3 t − t− 2 (ln |t− 1 |− ln|t+ 1|)+ C = − 3 t − t + 2 ln|t − 1| + C.

Zatem

∫ 4 | | sin--x-dx = − 1-sin3x − sin x + 1-ln||sin-x+--1||+ C. cos x 3 2 |sin x− 1|

 
Odpowiedź: | | − 1 sin 3x − sinx + 1ln||sinx+1|| + C 3 2 sinx−1

Wersja PDF