/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Trygonometryczne/Z ułamka

Zadanie nr 9587393

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ --2sin-x+3cosx--- sin2xcosx+9cos3xdx .

Rozwiązanie

Zauważmy, że jeżeli podstawimy t = tg x to

2 sin2-x 2 2 -----sin--x----- ----cos2x---- --t--- sin x = sin2 x+ cos2x = sin2x cos2x-= t2 + 1 cos2x + cos2x cos2x cos2x 1 co s2x = ---------------= ---2cos2x---- = -----. sin2 x + cos2x sin2x-+ cos22x t2 + 1 cos x cos x

Zatem

∫ ∫ ---2sin-x+--3co-sx--- ---2tg-x-+-3---- sin2x cos x+ 9cos3 xdx = sin 2x + 9c os2x dx = || dt || | t = tgx dx = 1+t-2 | = ||sin2 x = -t2- cos2 x = --1-|| = 1+t2 1+t2 ∫ 2t+ 3 ∫ 2t ∫ 13dt = -2----dt = -2----dt+ --t-2----= t + 9 t + 9 ( 3) + 1 2 t- 2 tg-x = ln(t + 9)+ arctg 3 + C = ln(tg x+ 9)+ a rc tg 3 + C.

 
Odpowiedź: tgx ln (tg 2x + 9)+ arctg-3- + C

Wersja PDF