/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Trygonometryczne/Z ułamka

Zadanie nr 9938405

Oblicz całkę ∫ tg-2x- tgx dx

Wersja PDF

Rozwiązanie

Skorzystamy ze wzoru

2 tg x tg 2x = ------2--, 1 − tg x

oraz z podstawimy

dt t = tgx ⇒ dx = -----. 1+ t2

Liczymy

-2tg-x- | | ∫ tg-2x ∫ 1−tg2x- ∫ ---dx---- | t = tg x | tg x dx = tgx dx = 2 2 = ||dx = -dt-|| = ∫ ∫ ( 1 − tg x ) 1+t2 ------dt-------- --1--- --1--- = 2 (1 − t2)(1 + t2) = 1− t2 + 1+ t2 dt = ∫ ∫ ( ) = ------dt------+ a rctg t = 1- --1-- + --1-- dt + arctg tg x = (1 − t)(1+ t) 2 1 − t 1 + t 1 1 1 ||1 + t|| = − --ln |1 − t|+ -ln |1+ t| + x + C = --ln ||-----||+ x+ C = 2 | | 2 | 2 1|− t 1 |1+ tg x| 1 |sin x+ cosx | = --ln ||-------|| + x + C = --ln||-------------||+ x + C. 2 1− tg x 2 sin x− cosx

 
Odpowiedź: | | | | 1 ln ||1+tgx|| + x + C = 1 ln |sinx+-cosx|+ x + C 2 1−tgx 2 sinx− cosx

Wersja PDF