Zadanie nr 1579682

Oblicz całkę ∫ √ -2----2- a − x dx .

Rozwiązanie

Sposób I

Podstawiamy x = asin t , gdzie π- π- t ∈ [− 2,2 ] . Mamy wtedy

dx = aco stdt t = arcsin x, a

oraz

∫ ∘ -------- ∫ ∘ ------------- ∫ a2 − x2dx = a2 − a 2sin2t⋅ acos tdt = |aco st|⋅a costdt = ∫ ∫ 2 |a|⋅a- |a|⋅a- |a|⋅a- = |a|⋅a cos tdt = 2 (1+ cos2t)dt = 2 t + 4 sin2t + C = ∘ -----2- = |a|⋅a-t+ |a|-⋅asin tcos t+ C = |a|⋅a-arcsin x-+ |a|⋅a-⋅ x-⋅ 1 − x--+ C = 2 2 ∘ -------- 2 a 2 a a2 a2 x |a| a2 − x2 a2 x x ∘ -------- = ---arcsin--- + --- ⋅x⋅ --------+ C = ---arcsin--- + -- a2 − x2 + C . 2 |a| 2 a2 2 |a| 2

Sposób II

Skorzystamy ze wzoru

∫ ---dx----- -x- √a-2 −-x2-= a rcsin |a| + C,

który można łatwo wyprowadzić podstawiając x = ta .

Przekształcimy teraz szukaną całkę na dwa sposoby: pierwszy z nich to całkowanie przez części, a w drugim przenosimy pierwiastek do mianownika.

| √ -------| ∫ ∘ -------- ||u′ = 1 v = a2 − x 2|| ∘ -------- ∫ x2dx a2 − x2dx = |u = x v′ = √-−x--- |= x a2 − x2 + √--2----2- | a2−x 2 | a − x ∫ ∘ -------- ∫ a 2 − x 2 ∫ a 2dx ∫ x2dx a2 − x2dx = √---------dx = √---------− √--------. a 2 − x 2 a2 − x2 a2 − x2

Dodając te dwa wzory stronami otrzymujemy

∫ ∘ -2----2- ∘ --2----2 ∫ a2dx ∘ -2----2- 2 x 2 a − x dx = x a − x + √--2----2-= x a − x + a arcsin |a| + C ∫ a − x ∘ -2----2- x∘ -2----2- a2- -x- a − x dx = 2 a − x + 2 arcsin |a| + C.

Odpowiedź: 2 √ -------- a2 arcsin |xa| + x2 a2 − x 2 + C