Zadanie nr 1683655

Oblicz całkę ∫ ---5x+-2--- √2x2+8x−-1dx .

Rozwiązanie

Rozbijamy wyrażenie w liczniku na dwie części tak, aby otrzymać pochodną trójmianu, który znajduje się pod pierwiastkiem.

∫ ∫ ∫ √---5x-+-2-----dx = 5- √---4x-+-8-----dx − 8 √-----dx-------. 2x2 + 8x − 1 4 2x 2 + 8x − 1 2x 2 + 8x− 1

Pierwszą całkę liczymy podstawiając za trójmian pod pierwiastkiem

| | 5 ∫ 4x+ 8 |t = 2x 2 + 8x − 1 | 5 ∫ dt 10√ - -- √---2---------dx = || || = -- √-- = --- t + C = 4 2x + 8x − 1 dt = (4x+ 8)dx 4 t 4 5-∘ --2---------- = 2 2x + 8x − 1 + C .

Drugą całkę policzymy korzystając ze wzoru

∫ dx ∘ ------- √--------= ln |x+ x2 + k|+ C. x2 + k

Liczymy

∫ dx ∫ dx 8 ∫ dx − 8 √--------------= − 8 ∘---------------= − √--- ∘--------------= 2x2 + 8x − 1 2(x + 2 )2 − 9 2 (x + 2)2 − 92 | | | ∘ ------| |x + 2 = t| √ --∫ dt √ -- || 9|| = || dx = dt|| = − 4 2 ∘--------= − 4 2 ln||t+ t2 − 2|| + C = t2 − 92 || ∘ ------------|| √ -- | 2 1| = − 4 2 ln ||x + 2+ x + 4x − 2||+ C.

Mamy więc

| ∘ ------------| ∫ 5x+ 2 5 ∘ ------------- √ -- || 1|| √---2---------dx = -- 2x2 + 8x − 1 − 4 2 ln ||x + 2+ x2 + 4x − -||+ C 2x + 8x − 1 2 2

Odpowiedź: | | √ ------------- √ -- | ∘ -----------| 52 2x 2 + 8x − 1− 4 2ln ||x + 2+ x2 + 4x − 12|| + C