/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z kwadratowej

Zadanie nr 2369973

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ √x2−4- x dx .

Rozwiązanie

Podstawiamy --2- x = cost , gdzie t ∈ [0,π ] . Mamy wtedy

2sint dx = ---2-dt cos t cos t = 2- ⇒ t = a rc cos 2-= π- − arcsin 2- x ∘x-----2------- x ∘ ------- ∘ --4------- 4(1 − co s2 t) 2sint x2 − 4 = ------− 4 = -------------= -------. cos2t cos2t |co st|

Zatem

∫ √ ------- ∫ 2sint ∫ --x2-−-4- |cost|- 2-sin-t sin-2t- x dx = -2-- ⋅cos2 tdt = 2 sgn(cos t) cos2tdt = ∫ cost 1−--cos2t- = 2 sgn(cos t) cos2t dt = 2 sgn (c ost)(tgt − t)+ C = ∘ ------- sin t 1 − x42 2 = 2-------− 2sgn (cost)t+ C = 2⋅ ---2-----− 2 sgn(x) arccos --+ C = | cost| |x|- x ∘ ------- 2 ∘ ------- 2 = x 2 − 4 + 2 sgn(x )arcsin--+ C1 = x2 − 4 + 2a rcsin ---+ C1. x |x|

 
Odpowiedź: √ -2----- -2- x − 4 + 2 arcsin |x| + C

Wersja PDF