Zadanie nr 3032758

Oblicz całkę ∫ 2√ -------2 12x 4x − x dx .

Rozwiązanie

Zastosujemy metodę współczynników nieoznaczonych, czyli fakt, że jeżeli Wn (x ) jest wielomianem stopnia , to całka

∫ ∘ ------------- ∫ √--Wn-(x)dx----= Pn−1(x) ax2 + bx + c+ A √-----dx------, ax2 + bx + c ax2 + bx + c

gdzie Pn− 1 jest pewnym wielomianem stopnia n − 1 , a stałą.

Ponieważ

∫ ∘ -------- ∫ 2 2 12x 2 4x − x 2dx = 12x√-(4x-−--x-)dx , 4x − x 2

oczekujemy wyniku postaci

∫ ∫ 2∘ ------2- 3 2 ∘ -------2 ---dx----- ′ 12x 4x− x dx = (ax + bx + cx + d) 4x − x + A √ 4x− x2 /() 4 3 −-1√2x--+-48x-- = 4x − x 2 ∘ -------- 3 2 = (3ax2 + 2bx + c) 4x − x2 + (ax--+-bx--+√--cx+--d)⋅(4-−-2x-)+ √---A-----. 2 4x − x2 4x − x2

Mnożymy obie strony przez √ ------2- 4x − x i mamy

4 3 − 12x + 48x = = (3ax 2 + 2bx+ c)(4x − x2) + (ax3 + bx2 + cx + d) ⋅(2 − x) + A 4 3 − 12x + 48x = = − 4ax 4 + (1 4a− 3b)x3 + (10b − 2c)x2 + (6c − d)x + (2d + A ) ( || −1 2 = − 4a ⇒ a = 3 ||| |{ 48 = 14a − 3b ⇒ b = − 2 0 = 10b − 2c ⇒ c = −1 0 ||| 0 = 6c− d ⇒ d = −6 0 |||( 0 = 2d + A ⇒ A = 120.

Zatem

∫ ∘ -------- ∘ -------- ∫ dx 12x2 4x− x2dx = (3x3 − 2x2 − 10x − 60 ) 4x − x2 + 120 ∘--------------= 4 − (x − 2)2 3 2 ∘ -------2 x − 2 = (3x − 2x − 10x − 60) 4x − x + 1 20arcsin --2---+ C .

Odpowiedź: √ -------- (3x3 − 2x2 − 10x − 60) 4x − x2 + 120 arcsin x−22+ C