/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z kwadratowej

Zadanie nr 4228694

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ √ -----2------ 5− x − 4xdx .

Rozwiązanie

Będziemy chcieli skorzystać ze wzoru

∫ ∘ -------- 2 ∘ -------- a 2 − x 2dx = a-arcsin x--+ x- a2 − x2 + C , 2 |a| 2

który można łatwo wyprowadzić podstawiając x = asint .

Sprowadzamy trójmian pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej.

∫ ∫ ------------- | | ∘ -----2------ ∘ 2 ||x+ 2 = t|| 5 − x − 4xdx = 9− (x+ 2) dx = |dx = dt | = ∘ ------ = 9-arcsin-t+ t- 9− t2 + C = 2 3 2 9 x + 2 x + 2∘ ------------ = 2-arcsin--3---+ --2--- 5− x2 − 4x+ C.

 
Odpowiedź: √ ------------ 92 arcsin x+32+ x+22- 5 − x 2 − 4x + C

Wersja PDF