Zadanie nr 4955152

Oblicz całkę ∫ --x2-- √9−x-2dx .

Rozwiązanie

Sposób I

Stosujemy metodę współczynników nieoznaczonych, czyli szukamy stałych a,b,A takich, że

∫ x 2 ∘ ------- ∫ dx ′ √-------2dx = (ax+ b) 9 − x2 + A √------2- /() 9− x 9 − x ---x2---- ∘ -----2- --−-2x---- ---A----- ∘ ------2 √ -----2-= a 9− x + (ax+ b)⋅ √ -----2-+ √ ------2 / ⋅ 9 − x 9− x 2 9− x 9 − x x 2 = a(9− x2)− x(ax + b) + A 2 2 x = − 2ax − bx + (9a + A ).

Mamy stąd a = − 1,b = 0,A = 9 2 2 . Zatem

∫ ∫ ---x2---- x-∘ -----2- 9- ---dx---- √ -----2-dx = − 2 9 − x + 2 √ -----2-= 9 −∘ x------ 9 − x = − x- 9 − x2 + 9-arcsin x-+ C . 2 2 3

Skorzystaliśmy wyżej ze wzoru

∫ √--dx-----= a rcsin -x-+ C. a2 − x2 |a|

Sposób II

Podstawiamy x = 3sin t , gdzie t ∈ [− π-, π-] 2 2 . Mamy wtedy

dx = 3co stdt x t = arcsin -, 3

oraz

∫ x2 ∫ 9 sin2 t ∫ sin2t -----2dx = ∘------------⋅ 3cos tdt = 9 ------⋅cos tdt = 9 − x 9 − 9 sin 2t co st 9 ∫ 9 9 9 9 = -- (1 − cos 2t)dt = --t− --sin2t + C = --t− --sin tcost = 2 ∘ ---2--- 4 2 2 = 9-arcsin x-− 1-x 9 − x2 + C . 2 3 2

Odpowiedź: 9 x 1 √ -----2- 2 arcsin 3 − 2x 9 − x + C