Zadanie nr 5368995

Oblicz całkę ∫ √ ----------2- (2x − 5) 2+ 3x − x dx .

Rozwiązanie

Rozbijamy wyrażenie pod całką na dwie części tak, aby otrzymać pochodną trójmianu, który znajduje się pod pierwiastkiem.

∫ ∘ ------------ ∫ ∘ ------------ ∫ ∘ ------------ (2x − 5) 2 + 3x − x 2dx = − (3− 2x ) 2 + 3x − x 2dx − 2 2+ 3x − x2dx .

Pierwszą całkę liczymy podstawiając za trójmian pod pierwiastkiem

∫ ------------ | | ∫ ∘ 2 ||t = 2 + 3x − x2 || √ - − (3− 2x) 2+ 3x− x dx = |dt = (3 − 2x)dx | = − tdt = ∫ 1 3 ∘ --------------- = − t2dt = − 2-t2 + C = − 2- (2 + 3x − x 2)3 + C . 3 3

Drugą całkę policzymy korzystając ze wzoru

∫ ∘ -------- a2 x x ∘ -------- a 2 − x 2dx =---arcsin ---+ -- a2 − x2 + C . 2 |a| 2

Liczymy

∫ ∫ ∘ -----(-------)2- | | ∘ -----------2 17- 3- ||t = x − 32|| − 2 2 + 3x − x dx = − 2 4 − x − 2 dx = | dt = dx | = ∫ ∘ -------- ∘ -------- 17- 2 17- -2t-- 1-7 2 = − 2 4 − t dt = − 4 arcsin √ 17-+ t 4 − t + C = ( ) ∘ ------------ = − 1-7a rcsin 2x√-−-3-+ x − 3- 2 + 3x − x 2 + C . 4 17 2

Mamy więc

∫ ∘ ------------ x 1+ 4x − x2dx = ∘ --------------- ( ) ∘ ------------ = − 2- (2 + 3x − x 2)3 − 17-arcsin 2x√-−-3-+ x − 3- 2 + 3x − x 2 + C . 3 4 17 2

Odpowiedź: ∘ --------------- ( )√ ------------ − 23 (2+ 3x − x2)3 − 174 a rcsin 2√x−3-+ x − 32 2 + 3x − x 2 + C 17