Zadanie nr 6129093

Oblicz całkę ∫ 3x3−-9x2−-6x−20 √5+-6x−x-2 dx .

Rozwiązanie

Zastosujemy metodę współczynników nieoznaczonych, czyli fakt, że jeżeli Wn (x ) jest wielomianem stopnia , to całka

∫ ∘ ------------- ∫ √--Wn-(x)dx----= Pn−1(x) ax2 + bx + c+ A √-----dx------, ax2 + bx + c ax2 + bx + c

gdzie Pn− 1 jest pewnym wielomianem stopnia n − 1 , a stałą.

Ponieważ licznik w naszej całce ma stopień 3, szukamy takich stałych a,b,c,A , aby

∫ ∫ 3x3-−-9x2-−-6x-−-2-0 2 ∘ -----------2 ------1------- ′ √ -----------2 dx = (ax + bx + c) 5 + 6x − x + A √ -----------2dx /() 3 52+ 6x − x 5 + 6x − x 3x-√−-9x--−-6x-−--20 5 + 6x − x 2 = ∘ ------------ 2 = (2ax + b) 5+ 6x − x2 + (ax--+√bx-+-c)(−-2x-+-6-)+ √-----A------. 2 5 + 6x − x 2 5+ 6x − x2

Mnożymy teraz obie strony przez √ ----------2- 5+ 6x− x .

3 2 2 2 3x − 9x − 6x − 20 = (2ax + b)(5 + 6x − x )− (ax + bx + c)(x− 3)+ A 3x3 − 9x2 − 6x − 20 = − 3ax3 + (15a − 2b)x 2 + (1 0a+ 9b− c)x+ (5b+ 3c+ A) ( || 3 = − 3a ⇒ a = − 1 |{ − 9 = 15a− 2b ⇒ b = − 3 ||| − 6 = 10a+ 9b− c ⇒ c = 10a + 9b + 6 = − 31 ( − 20 = 5b+ 3c+ A ⇒ A = − 20− 5b− 3c = 88.

Mamy więc

∫ 3 2 3x-√−-9x--−--6x−--20dx = 5 + 6x − x2 ∘ ------------ ∫ dx = (−x 2 − 3x − 3 1) 5 + 6x − x2 + 88 ∘---------------= 14 − (x − 3)2 ∘ ------------ x − 3 = (−x 2 − 3x − 3 1) 5 + 6x − x2 + 88 arcsin -√----+ C. 14

Odpowiedź: ------------ (−x 2 − 3x − 31)√ 5 + 6x − x2 + 88arcsin x√−3-+ C 14