/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z kwadratowej

Zadanie nr 6984810

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ √ ------2- 2x+ x dx .

Rozwiązanie

Będziemy chcieli skorzystać ze wzoru

∫ ∘ ------- x ∘ ------- k ∘ ------- x 2 + kdx = -- x2 + k + --ln|x + x2 + k|+ C , 2 2

który można wyprowadzić stosując podstawienie Eulera √ ------- x2 + k = −x + t .

Sprowadzamy trójmian pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej.

∫ -------- ∫ ∘ ------------- | | ∫ ------ ∘ 2 2 ||x + 1 = t|| ∘ 2 2x + x dx = (x + 1) − 1dx = | dx = dt | = t − 1dt = ∘ ------ ∘ ------ = t- t2 − 1 − 1ln |t+ t2 − 1|+ C = 2 2 x-+-1-∘ ------2- 1- ∘ ------2- = 2 2x + x − 2 ln |x + 1 + 2x+ x |+ C

 
Odpowiedź: x+ 1√ ------2- 1 √ ------2- -2-- 2x + x − 2 ln |x+ 1+ 2x + x |+ C

Wersja PDF