Zadanie nr 7892594

Oblicz całkę ∫ ---x−-5--- √5+-4x−x-2dx .

Rozwiązanie

Rozbijamy wyrażenie w liczniku na dwie części tak, aby otrzymać pochodną trójmianu, który znajduje się pod pierwiastkiem.

∫ ∫ ∫ √---x-−-5-----dx = − 1- √--−-2x+--4---dx − √-----3------dx . 5 + 4x − x 2 2 5 + 4x − x 2 5+ 4x − x2

Pierwszą całkę liczymy podstawiając za trójmian pod pierwiastkiem

| | 1 ∫ − 2x + 4 |t = 5 + 4x − x 2| 1 ∫ dt − -- √------------2dx = ||dt = (4 − 2x)dx || = − -- √-- = 2 √ - 5 + 4x −∘ x------------ 2 t = − t+ C = − 5+ 4x− x2 + C.

Drugą całkę liczymy korzystając ze wzoru

∫ √--dx-----= a rcsin -x-+ C. a2 − x2 |a|

Liczymy

∫ dx ∫ dx ||t = x − 2|| − 3 √-------------= − 3 ∘--------------= || || = 5 + 4x − x 2 9− (x − 2)2 dt = dx ∫ dt t x− 2 = − 3 √-----2-= − 3arcsin --+ C = − 3arcsin ------+ C. 9− t 3 3

Mamy więc

∫ ∘ ------------ √---x-−-5-----dx = − 5+ 4x − x2 − 3a rcsin x-−-2-+ C . 5 + 4x − x 2 3

Odpowiedź: √ ------------ − 5 + 4x − x2 − 3 arcsin x−3-2+ C