/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z homografii

Zadanie nr 5570576

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ 1∘ -1−x- x -x-dx .

Rozwiązanie

Jeżeli podstawiamy 2 1−x- t = x , to mamy

1 t2x = 1 − x ⇒ x (1+ t2) = 1 ⇒ x = 2----, t + 1

oraz

−2t dx = --2-----2dt. (t + 1)

W takim razie

∫ ∘ ------ ∫ ∫ 2 1- 1−--xdx = (t2 + 1 )⋅t⋅--−-2t---dt = − 2 --t---dt = x x (t2 + 1)2 t2 + 1 ∫ t2 + 1 − 1 ∫ ( 1 ) = − 2 ----------dt = − 2 1− ------ dt = t2 + 1 ∘ ------t2 + 1 ∘ ------ 1 − x 1 − x = − 2t+ 2 arctgt + C = − 2 ------+ 2 arctg ------+ C . x x

 
Odpowiedź: ∘ ---- ∘ ---- − 2 1−x--+ 2a rctg 1−x-+ C x x

Wersja PDF