Zadanie nr 1530868

Oblicz całkę ∫ ---dx--- √x-(x+-1) .

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzoru

∫ dx ∘ ------- √--------= ln |x+ x2 + k|+ C, x2 + k

który łatwo jest wyprowadzić stosując podstawienie Eulera √ ------- x2 + k = −x + t .

Liczymy

∫ ∫ ∫ ----dx----- ---dx---- ------dx-------- ∘ ---------= √ --2---- = ∘ (------)2-----= x(x + 1) x + x x+ 1 − 1 2 4 ∘ ------- ||t = x + 1|| ∫ dt 1 = || 2|| = ∘--------= ln |t+ t2 −--| = dx = dt t2 − 1 4 | ------| 4 || 1- ∘ 2 || = ln |x + 2 + x + x|.

Sposób II

Ponieważ ---1---- -1-∘ x+1- √x-(x+-1) = x+1 x , możemy podstawić x+1- 2 x = t . Mamy wtedy

x+ 1 = t2x x = ---1-- t2 − 1 − 2t dx = --2-----2dt (t − 1) --t2-- x+ 1 = t2 − 1.

Stąd

∘ ------ ∫ dx ∫ 1 x+ 1 ∫ t2 − 1 − 2t ∘----------= ------ -----dx = ---2-- ⋅t⋅ -2-----2-dt = x(x + 1 ) x+ 1 x t ( (t − 1) ) ∫ 2 ∫ 2 ∫ 1 1 = − t2 −-1-dt = − (t−--1)(t+-1)-= − t−-1-− t+-1- dt = | | √ ------ √ -- ||t+-1-|| --x-+-1+----x- = ln|t+ 1|− ln |t − 1|+ C = ln |t− 1 |+ C = ln √x--+-1− √x--+ C = √ ------ √ -- (--x-+--1+----x)2 √ ------ √ -- = ln x + 1 − x + C = 2ln( x + 1 + x) + C .

Odpowiedź: || √ ------|| √ ------ √ -- ln |x+ 12 + x2 + x|+ C = 2 ln( x + 1 + x) + C