/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z kwadratowej/Z ułamka

Zadanie nr 3876353

Oblicz całkę ∫ --dx--- √x2+k .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Stosujemy I podstawienie Eulera √ ------- x2 + k = −x + t . Mamy wtedy

x2 + k = x 2 − 2xt + t2 2 x = 1-⋅ t-−-k 2 t 1 2t ⋅t− (t2 − k) 1 t2 + k dx = --⋅--------2------dt = --⋅---2--dt ∘ ---2--- t 22 t 2 2 1- k-−-t- 1- t--+-k x + k = −x + t = 2 ⋅ t + t = 2 ⋅ t .

Stąd

2 ∫ dx ∫ 12 ⋅ t+t2kdt ∫ dt ∘ ------- √---2----= --1--t2+k--= ---= ln|t|+ C = ln |x + x2 + k|+ C . x + k 2 ⋅ t t

Sposób II

Jeżeli nie boimy się funkcji hiperbolicznych, to szukaną całkę możemy łatwo obliczyć podstawiając √ -- x = ksinh t lub √ --- x = −k cosh t (w zależności od znaku k ). Będziemy korzystać z wzorków

cosh 2t− sin h2t = 1 ∘ ------- arsinh x = ln(x + x2 + 1) ∘ -2----- arcosh x = ln (x+ x − 1) (sin ht)′ = cosh t ′ (cosh t) = sinh t.

Jeżeli k > 0 to podstawiamy √ -- x = k sinh t . Mamy wtedy

√ -- dx = k cosh tdt ( ∘ --2----) ∘ ------- t = arsin h √x--= ln √x--+ x--+ 1 = ln√1--+ ln (x+ x2 + k) k k k k ∫ ∫ √ -- ∫ ---dx---- ----kcosh-tdt-- ∘ -2----- √x-2-+-k-= ∘ ------2----- = dt = t + C = ln (x+ x + k) + C . k sinh t+ k

Jeżeli natomiast k < 0 i x > 0 to podstawiamy √ --- x = −k cosh t . Mamy wtedy

√ --- dx = −k sinh tdt ( ∘ --------) 2 ∘ ------- t = arcosh √-x---= ln ( √-x---+ x--− 1) = ln √-1--+ ln (x+ x2 + k) −k −k −k −k √ --- ∫ dx ∫ −k sinh tdt ∫ ∘ ------- √--2-----= ∘---------2------= dt = t+ C = ln(x + x 2 + k) + C . x + k −k cosh t+ k

Tak naprawdę pozostał jeszcze przypadek k < 0 i x < 0 . Można wtedy podstawić √ --- x = − −k cosh t i śledząc powyższy rachunek otrzymamy

∫ dx ∘ ------- 1 √--2-----= − ln (−x + x2 + k)+ C = ln ------√--2-----+ C = x + k√ ------- −x + x + k −x − x 2 + k ∘ -2----- = ln --x2-−-x2-−-k--+ C = ln(−x − x + k)+ C 1 = ∘ ------- = ln |x + x 2 + k| + C1.

Widać więc, że to dokładnie na użytek tego przypadku jest wartość bezwzględna we wzorze

∫ dx ∘ ------- √--------= ln |x+ x2 + k|+ C. x2 + k

 
Odpowiedź: √ ------- ln |x+ x2 + k|+ C

Wersja PDF