Zadanie nr 6129093
Oblicz całkę .
Rozwiązanie
Zastosujemy metodę współczynników nieoznaczonych, czyli fakt, że jeżeli jest wielomianem stopnia
, to całka
![∫ ∘ ------------- ∫ √--Wn-(x)dx----= Pn−1(x) ax2 + bx + c+ A √-----dx------, ax2 + bx + c ax2 + bx + c](https://img.zadania.info/zad/6129093/HzadR2x.gif)
gdzie jest pewnym wielomianem stopnia
, a
stałą.
Ponieważ licznik w naszej całce ma stopień 3, szukamy takich stałych , aby
![∫ ∫ 3x3-−-9x2-−-6x-−-2-0 2 ∘ -----------2 ------1------- ′ √ -----------2 dx = (ax + bx + c) 5 + 6x − x + A √ -----------2dx /() 3 52+ 6x − x 5 + 6x − x 3x-√−-9x--−-6x-−--20 5 + 6x − x 2 = ∘ ------------ 2 = (2ax + b) 5+ 6x − x2 + (ax--+√bx-+-c)(−-2x-+-6-)+ √-----A------. 2 5 + 6x − x 2 5+ 6x − x2](https://img.zadania.info/zad/6129093/HzadR7x.gif)
Mnożymy teraz obie strony przez .
![3 2 2 2 3x − 9x − 6x − 20 = (2ax + b)(5 + 6x − x )− (ax + bx + c)(x− 3)+ A 3x3 − 9x2 − 6x − 20 = − 3ax3 + (15a − 2b)x 2 + (1 0a+ 9b− c)x+ (5b+ 3c+ A) ( || 3 = − 3a ⇒ a = − 1 |{ − 9 = 15a− 2b ⇒ b = − 3 ||| − 6 = 10a+ 9b− c ⇒ c = 10a + 9b + 6 = − 31 ( − 20 = 5b+ 3c+ A ⇒ A = − 20− 5b− 3c = 88.](https://img.zadania.info/zad/6129093/HzadR9x.gif)
Mamy więc
![∫ 3 2 3x-√−-9x--−--6x−--20dx = 5 + 6x − x2 ∘ ------------ ∫ dx = (−x 2 − 3x − 3 1) 5 + 6x − x2 + 88 ∘---------------= 14 − (x − 3)2 ∘ ------------ x − 3 = (−x 2 − 3x − 3 1) 5 + 6x − x2 + 88 arcsin -√----+ C. 14](https://img.zadania.info/zad/6129093/HzadR10x.gif)
Odpowiedź: