/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z kwadratowej/Z ułamka

Zadanie nr 6571867

Oblicz całkę ∫ ----dx---- √3x2+6x+-7 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Będziemy chcieli skorzystać ze wzoru

∫ dx ∘ ------- √--------= ln |x+ x2 + k|+ C, x2 + k

który łatwo jest wyprowadzić stosując podstawienie Eulera √ ------- x2 + k = −x + t . Aby to zrobić sprowadzamy trójmian pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej.

∫ ∫ ∫ ------dx------- -------dx------- -1-- ------dx------- √ --2----------= ∘ --------2-----= √ -- ∘ ------------4= 3x + 6x + 7 3(x + 1) + 4 3 (x + 1 )2 + 3 | | ∫ || ∘ ------|| ||t = x + 1|| √1-- ∘--dx---- √1-- | 2 4-| = | dt = dx | = 3 2 4 = 3 ln ||t+ t + 3 ||+ C = t + 3 || ∘ ------------|| = √1--ln ||x + 1 + x 2 + 2x + 7||+ C. 3 | 3|

 
Odpowiedź: | ∘ -----------| √1-ln ||x+ 1+ x2 + 2x + 7|| + C 3 | 3|

Wersja PDF