/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z kwadratowej/Z ułamka

Zadanie nr 8958307

Oblicz całkę ∫ ----dx----- √12x−9x2−2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Będziemy chcieli skorzystać z wzoru

∫ dx x √---------= a rcsin ---+ C, a2 − x2 |a|

który łatwo wyprowadzić ze wzoru ∫ √-dx-2 = arcsin x 1−x podstawiając t = ax .

Sprowadzamy trójmian pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej.

| | ∫ dx ∫ dx |t = 3x− 2| √---------------= ∘--------------2-= || || = 12x − 9x2 − 2 2− (3x − 2) dt = 3dx 1 ∫ dt 1 t 1 3x − 2 = 3- √------2-= 3-arcsin √---+ C = 3-arcsin -√-----+ C . 2− t 2 2

 
Odpowiedź: 1 arcsin 3x√−-2+ C 3 2

Wersja PDF