/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z kwadratowej/Z ułamka

Zadanie nr 9448353

Oblicz całkę ∫ ----dx----- (x2+ 1)√x-2−-1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Podstawiamy -1-- x = cost , gdzie t ∈ [0 ,π] . Zauważmy, że ponieważ funkcja pod znakiem całki jest parzysta, możemy policzyć całkę przy założeniu, że x ≥ 0 (czyli t ∈ [0, π2-] ), a na koniec zrobimy z wyniku funkcję nieparzystą. Mamy zatem

-sint- dx = co s2tdt 1 2 cost = -- ⇒ t = arcco s-- x ∘ ---------- ∘ x---------- ∘ -2----- 1 1 − cos2t |sin t| sint x − 1 = cos2t-− 1 = --cos2-t--= |cos-t|-= cost- 2 --1--- 1-+-cos2t- x + 1 = cos2 t + 1 = cos2t .

Zatem

∫ ∫ sin-tdt ∫ -------dx√--------= ---cos2t------= ---cost---dt (x 2 + 1) x 2 − 1 1+cos22t⋅ sint 1 + cos2 t ∫ | cos t c|ost∫ = --co-st--dt = || u = sint ||= -du----= 2 − sin2t |du = co stdt| 2− u2 ∫ ( ) = -1√--- √--1----+ √--1---- du = 2 2 2 − u 2+ u 1 ( √ -- √ -- ) = -√--- ln( 2 + u) − ln| 2 − u| + C = 2 2 √ -- √ -- 1 2+ u 1 2 + sin t = -√---ln -√------- + C = √---ln √----------+ C = 2 2 | 2− ∘u|------ 2 2 − sin t √ 2-+ 1 − 1- √ -- √ --2---- = -1√---ln ------∘------x2+ C = -1√---ln √-2x-+-√-x--−-1-+ C. 2 2 √ -- 1- 2 2 2x − x 2 − 1 2 − 1 − x2

Można sprawdzić, że funkcja, którą otrzymaliśmy jest nieparzysta, więc wynik jest poprawny bez założenia x ≥ 1 .

Sposób II

Podstawiamy x = cosh t . Tak naprawdę to powinniśmy odrobinę uważać, bo x może być ujemny, a cosh t ≥ 1 . Mamy jednak do czynienia z funkcją parzystą, więc wystarczy, że policzymy całkę dla x ≥ 1 , a na koniec zrobimy z wyniku funkcję parzystą.

Druga uwaga, to y = cosh t nie jest różnowartościowy, ale możemy założyć, że t ≥ 0 . Dzięki temu będziemy wiedzieć, że sinh t ≥ 0 .

∫ dx || x = cosh t || ∫ sin htdt --------√--------= || || = ------------∘-------------= (x2 + 1) x2 − 1 dx = sinh tdt (cosh2 t+ 1) cosh2 t− 1 ∫ sinh tdt ∫ dt ∫ dt = -----2-------------= -1-----------------= 2 -----------. (cosh t+ 1) sin ht 2(1+ cosh 2t) + 1 3 + cosh 2t

Teraz podstawiamy u = tanh t .

∫ || u = tanh t || ∫ --1-du ∫ 2 ----dt----- = | 1 |= 2 -1−u2--2-= 2 --------1--------du = 3 + cosh 2t |dt = 1−u2du | 3 + 1+u2- 3 − 3u 2 + 1 + u 2 ∫ ∫ ( 1−u) |√ -- | --1---- --1-- ---1---- ---1---- -1--- ||--2-+-u-|| = 2− u2du = √ -- √ -- + √ -- du = √ --ln ||√ -- ||+ C = |√ -- 2 2| 2− u √2-+ u 2 2 2 − u 1 || 2+ tg ht|| 1 2cosh t+ sin ht = -√---ln |√---------| + C = -√---ln √-----------------+ C = 2 2 | 2− tg ht| 2 2 2cosh t− sin ht √ -- √ -2----- = -√1--ln √-2x-+-√-x--−-1-+ C . 2 2 2x − x2 − 1

Po drodze opuściliśmy wartości bezwzględne, bo |tgh x| < 1 . Można sprawdzić, że funkcja, którą otrzymaliśmy jest nieparzysta, więc wynik jest poprawny bez założenia x ≥ 1 .  
Odpowiedź: √- √---- -√1-ln √2x+-√x2−1-+ C 2 2 2x− x2−1

Wersja PDF