/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z kwadratowej/Z ułamka

Zadanie nr 9655194

Oblicz całkę ∫ ---dx---- √5+-4x−x-2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Będziemy chcieli skorzystać z wzoru

∫ dx x √---------= a rcsin ---+ C, a2 − x2 |a|

który łatwo wyprowadzić ze wzoru ∫ √-dx-2 = arcsin x 1−x podstawiając t = ax .

Sprowadzamy trójmian pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej.

| | ∫ dx ∫ dx |t = x− 2| √-------------= ∘-------------2-= || || = 5 + 4x − x2 9− (x− 2) dt = dx ∫ dt t x − 2 = √------2 = arcsin √--+ C = arcsin --3---+ C . 9− t 9

Sposób II

Będziemy się starali sprowadzić tę całkę do całki ∫ √-dx-- 1−x2 .

∫ dx ∫ dx ∫ dx √-------------= √-----------------= ∘--------------= 5+ 4x− x2 9 − 4 + 4x − x2 9− (x − 2)2 1∫ dx 1 ∫ dx || t = x−2-|| = -- ∘------------= -- ∘------(---)--= || 31 || = 3 1 − (x−-2)2- 3 1− x−2- 2 dt = 3dx ∫ 9 3 = 1- √-3dt--- = arcsin t+ C = arcsin x−--2+ C. 3 1 − t2 3

 
Odpowiedź: a rcsin x−32-+ C

Wersja PDF