Zadanie nr 4982026

Oblicz całkę ∫ √ ------------2- 3− 12x + 3x dx .

Rozwiązanie

Będziemy chcieli skorzystać ze wzoru

∫ ∘ ------- x ∘ ------- k ∘ ------- x 2 + kdx = -- x2 + k + --ln|x + x2 + k|+ C , 2 2

który można wyprowadzić stosując podstawienie Eulera √ ------- x2 + k = −x + t .

Sprowadzamy trójmian pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej.

∫ ∫ ∘ ------------------- | √ -- √ -| ∘ -------------2 √ -- √ --2 ||t = 3x√−--2 3|| 3 − 12x + 3x dx = ( 3x − 2 3) − 9dx = | dt = 3dx | = ∫ ∘ ------ ∘ ------ ∘ ------ = √1-- t2 − 9dx = --t√--- t2 − 9− -√9--ln|t+ t2 − 9|+ C = 3 2 3 2 3 √ -- √ -∘ -------------- √ -- √ -- √ -- ∘ -------------- = --3x-−√-2---3 3 − 12x + 3x2 − 3--3-ln| 3x − 2 3 + 3− 12x + 3x2| + C = 2 3 2 ∘ -------------- √ -- √ -- √ -- ∘ -------------- = x-−-2- 3 − 12x + 3x 2 − 3--3-ln | 3x − 2 3 + 3 − 12x + 3x2|+ C. 2 2

Odpowiedź: √ -------------- 3√3 √ -- √ -- √ -------------- x−22- 3 − 12x + 3x 2 − -2--ln | 3x − 2 3 + 3 − 12x + 3x 2|+ C