Zadanie nr 7574251
Oblicz całkę .
Rozwiązanie
Rozbijamy wyrażenie pod całką na dwie części tak, aby otrzymać pochodną trójmianu, który znajduje się pod pierwiastkiem.
![∫ ∘ ------------ ∫ ∘ ------------ ∫ ∘ ------------ x 1 + 4x − x2dx = − 1- (− 2x + 4) 1 + 4x − x 2dx+ 2 1 + 4x − x2dx . 2](https://img.zadania.info/zad/7574251/HzadR0x.gif)
Pierwszą całkę liczymy podstawiając za trójmian pod pierwiastkiem
![∫ | | ∫ 1- ∘ ----------2- || t = 1 + 4x − x 2 || 1- √ - − 2 (− 2x + 4) 1+ 4x − x dx = |dt = (− 2x + 4)dx | = − 2 tdt = ∫ ∘ --------------- = − 1- t12dt = − 1-t32 + C = − 1- (1 + 4x − x2)3 + C . 2 3 3](https://img.zadania.info/zad/7574251/HzadR1x.gif)
Drugą całkę policzymy korzystając ze wzoru
![∫ ∘ -------- a2 x x ∘ -------- a 2 − x 2dx =---arcsin ---+ -- a2 − x2 + C . 2 |a| 2](https://img.zadania.info/zad/7574251/HzadR2x.gif)
Liczymy
![∫ ∘ ------------ ∫ ∘ ------------- ||t = x − 2|| 2 1+ 4x − x2dx = 2 5 − (x − 2)2dx = || || = ∫ dt = dx ∘ -----2 -t-- ∘ -----2 = 2 5 − t dt = 5arcsin √ 5-+ t 5 − t + C = ∘ ------------ = 5arcsin x−√--2-+ (x − 2) 1 + 4x − x2 + C. 5](https://img.zadania.info/zad/7574251/HzadR3x.gif)
Mamy więc
![∫ ∘ -----------2 x 1 + 4x − x dx = ∘ --------------- ∘ ------------ = − 1- (1+ 4x − x2)3 + 5a rcsin x√−-2-+ (x − 2) 1+ 4x − x2 + C . 3 5](https://img.zadania.info/zad/7574251/HzadR4x.gif)
Odpowiedź: