/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z kwadratowej/Bez ułamka

Zadanie nr 8713291

Oblicz całkę ∫ 2 √ ------2 (1 − x ) 1 − x dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Podstawiamy x = sint , gdzie π- π- t ∈ [− 2,2] . Mamy wtedy

dx = costdt t = arcsinx

oraz

∫ ∘ ------- ∫ ∘ ---------- ∫ (1 − x2) 1 − x 2dx = (1 − sin2 t) 1− sin 2t⋅co stdt = c os4tdt = ∫ ( 1 1 ) 2 ∫ ( 1 1 1 ) = --+ -co s2t dt = -+ --cos2t + --cos2 2t dt = 2 2 ∫ 4 2 4 t- 1- 1- t- 1- t- -1- = 4 + 4 sin2t + 8 (1 + cos 4t)dt = 4 + 4 sin 2t+ 8 + 32 sin4t + C = 3t 1 1 = -- + --sin tco st+ ---sin 2tco s2t+ C = 8 2 16 3t 1- 1- 2 = 8 + 2 sin tco st+ 8 sin tcos t(2cos t− 1) + C = 3t 3 1 = -- + --sin tco st+ --sin tcos3 t+ C = 8 8 ∘ --4---- ∘ ---------- = 3-arcsin x + 3-x 1 − x2 + 1-x (1 − x 2)3 + C . 8 8 4

 
Odpowiedź: 3 3 √ -----2- 1 ∘ ------2-3- 8 arcsin x + 8x 1− x + 4x (1− x ) + C

Wersja PDF