/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z liniowej/Stopnia 2

Zadanie nr 1415867

Oblicz całkę ∫ ---1--- 2√5x+3dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ wyrażenie 1 2√x- to dokładnie pochodna pierwiastka √ -- y = x , spodziewamy się wyniku postaci √ 5x-+-3- . Jeżeli jednak policzymy pochodną z tego wyrażenia, to otrzymamy z przodu współczynnik 5 pochodzący z pochodnej wnętrza. Zatem dopisujemy z przodu współczynnik 15 .

∫ √ ------- -√--1-----dx = 1- 5x + 3 + C . 2 5x + 3 5

Sposób II

Podstawiamy t = 5x + 3 .

∫ | | ∫ -----1---- ||t = 5x + 3|| 1- -dt-- 1√ - 1√ ------- 2√ 5x-+--3dx = | dt = 5dx | = 5 2√t- = 5 t+ C = 5 5x + 3 + C .

Sposób III

Podstawiamy 2 t = 5x + 3 .

| | ∫ 1 |t2 = 5x + 3| 1 ∫ 2tdt -√--------dx = || || = -- ---- = 2 ∫5x + 3 2tdt = 5dx 5 2t 1- 1- 1√ ------- = 5 1dt = 5t + C = 5 5x + 3+ C.

 
Odpowiedź: ------- 1√ 5x + 3+ C 5

Wersja PDF