/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Prostokąt

Zadanie nr 7255113

Na boku CD prostokąta ABCD wybrano punkt E taki, że |DE | = 8 . Przekątna BD i odcinek AE przecinają się w punkcie S oraz |DS | = 6 . Bok AB prostokąta ABCD ma długość 12 (zobacz rysunek).

PIC

Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Pole trójkąta ABS jest 5 razy mniejsze od pola prostokąta ABCD .PF
Obwód trójkąta EDS stanowi 2 3 obwodu trójkąta ABS . PF
Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że trójkąty ABS i EDS mają dwa równe kąty: ∡ASB = ∡ESD i ∡BAS = ∡DES . Są więc podobne. Znamy też ich skalę podobieństwa

k = AB--= 12-= 3. ED 8 2

Tak sam jest stosunek wysokości tych trójkątów

h 3 2 --1= k = -- ⇒ h2 = -h1. h 2 2 3

Stąd

h h h 1 3 3 --1- = ----1---= -----12--- = -5= -- ⇒ h1 = --AD , AD h 1 + h 2 h1 + 3 h1 3 5 5

czyli

P = 1-AB ⋅ h = 1-⋅AB ⋅ 3-AD = 3-AB ⋅AD > 1-P . ABS 2 1 2 5 10 5 ABCD

Stosunek obwodów trójkątów EDS i ABS jest równy

1 1 2 --= 3-= -. k 2 3

 
Odpowiedź: F, P

Wersja PDF