/Szkoła średnia/Zadania testowe/Ciągi/Arytmetyczny/Dany wzór

Zadanie nr 5884066

Dany jest ciąg arytmetyczny (an ) określony wzorem √ -- n−1+√-3n- an = 2n − √ 3+1 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Różnica r tego ciągu jest równa
A) √- √--3- r = − 3+1 B) √ -- r = 2 C) √ -- r = 2 2 D) √ -- r = 2 − 1

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ

√ -- √ -- a 1 = 2− √---3--- 3+ 1 √ -- 1 + 2√ 3- a 2 = 2 2− -√------- 3+ 1

to

√ -- ( √ -- ) √ -- 1-+-2--3- √ -- ----3--- r = a2 − a1 = 2 2 − √ 3+ 1 − 2 − √ 3+ 1 = √ -- √ -- √ -- √ -- 1 + 2 3 − 3 √ -- 1 + 3 √ -- = 2 − ----√----------= 2− √-------= 2− 1. 3+ 1 3 + 1

Sposób II

Zauważmy, że

√ -- √ -- √ -- n-−-1-+---3n- √ -- −-1+--(--3+-1-)n- an = 2n − √ 3+ 1 = 2n − √ 3-+ 1 = √ -- ( ) √ -- = 2n − √-−-1---+ n = √-1----+ ( 2− 1)n. 3 + 1 3+ 1

To oznacza, że jest to ciąg arytmetyczny o różnicy √ -- r = 2− 1 .  
Odpowiedź: D

Wersja PDF