/Szkoła średnia/Zadania testowe/Ciągi/Geometryczny/Dany wyraz i iloraz

Zadanie nr 2279318

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest ciąg geometryczny (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 288, natomiast iloraz ciągu jest równy ( ) − 1 2 . Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Wśród wyrazów ciągu (a ) n jest dokładnie 5 liczb całkowitych.PF
Jeden z wyrazów ciągu (an) jest równy -3- 512 . PF

Rozwiązanie

Wiemy, że

( )n − 1 n−1 n−1 1- (−-1)---- an = a 1q = 288 ⋅ − 2 = 9⋅ 32⋅ 2n−1 = n−1 n−1 = 3 2 ⋅-1- ⋅ (−-1)---= 32 ⋅ (−-1)--. 2 −5 2n− 1 2n−6

Widać teraz, że wyrazy całkowite otrzymamy tylko dla n = 1,2,3,4,5,6 . Dla n = 7 mamy już

2 1- 9- a7 = 3 ⋅2 = 2.

Widać też, że żaden wyraz ciągu nie może być równy 5312- , bo każdy wyraz tego ciągu jest ułamkiem z licznikiem podzielnym przez 9.  
Odpowiedź: F, F

Wersja PDF