/Szkoła średnia/Zadania testowe/Ciągi/Dowolny/Różne

Zadanie nr 7903443

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ciąg (an) jest określony wzorem 2n− 1 n+-1 an = (− 1) ⋅ 249 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Wśród wyrazów ciągu (an) są zarówno liczby dodatnie jak i liczby ujemne.PF
Wśród wyrazów ciągu (an) jest co najmniej 10 liczb całkowitych. PF

Rozwiązanie

Zauważmy, że 2n− 1 jest zawsze liczbą nieparzystą, więc

an = (− 1)2n−1 ⋅ n-+-1-= − n+--1. 249 2 49

Wszystkie wyrazy ciągu (an) są więc ujemne.

Ponadto, jeżeli tylko n + 1 jest podzielne przez 249, to an jest liczbą całkowitą. Dokładniej, jeżeli n = 249m − 1 , to

24-9m-−-1-+-1- an = − 249 = −m .

Wśród wyrazów ciągu (an) jest więc nieskończenie wiele liczb całkowitych.  
Odpowiedź: F, P

Wersja PDF