/Szkoła średnia/Zadania testowe/Ciągi/Dowolny/Liniowy

Zadanie nr 7733324

Dany jest ciąg (an) określony wzorem an = 3n − 1 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma n początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 57 dla n równego
A) 6 B) 23 C) 5 D) 11

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Obliczamy kolejne sumy początkowych wyrazów ciągu (an) .

a = 2 1 a1 + a2 = 2 + 5 = 7 a + a + a = 5 + 8 = 15 1 2 3 a1 + a2 + a3 + a4 = 15 + 11 = 26 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 26 + 14 = 40 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 40 + 17 = 57.

Zatem n = 6

Sposób II

Zauważmy, że ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie a1 = 2 i różnicy

r = an+1 − an = 3(n + 1 )− 1 − (3n − 1) = 3.

Musimy więc rozwiązać równanie

2a + (n − 1)r 4 + (n − 1) ⋅3 57 = --1------------⋅n = -------------- ⋅n / ⋅2 2 2 1 14 = (1 + 3n)n = n + 3n2 2 0 = 3n + n − 11 4 Δ = 1 + 1368 = 1369 = 3 72 n = −1-−-3-7-< 0 lub n = −-1+--37-= 6 . 6 6

 
Odpowiedź: A

Wersja PDF