/Szkoła średnia/Zadania testowe/Ciągi/Dowolny/Liniowy

Zadanie nr 8653241

Dany jest ciąg (an) określony wzorem an = 12n − 7 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma n początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 145 dla n równego
A) 6 B) 23 C) 5 D) 11

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Obliczamy kolejne sumy początkowych wyrazów ciągu (an) .

a = 5 1 a1 + a2 = 5 + 17 = 2 2 a + a + a = 22 + 29 = 51 1 2 3 a1 + a2 + a3 + a4 = 51 + 41 = 92 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 92 + 53 = 145.

Zatem n = 5

Sposób II

Zauważmy, że ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie a = 5 1 i różnicy

r = a − a = 1 2(n+ 1)− 7− (12n − 7) = 1 2. n+1 n

Musimy więc rozwiązać równanie

2a + (n − 1 )r 10 + (n − 1) ⋅12 1 45 = ---1-----------⋅n = -----------------⋅n 2 2 1 45 = (− 1 + 6n)n = −n + 6n2 2 0 = 6n − n − 1 45 Δ = 1 + 3480 = 3481 = 592 n = 1−--59-< 0 lub n = 1-+-59-= 5. 12 12

 
Odpowiedź: C

Wersja PDF