/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje/Kwadratowa/Z parametrem

Zadanie nr 1354281

Funkcja 2 f(x) = x − ax + 1 przyjmuje wartości mniejsze niż − 3 dla
A) a = 4 B) a = − 5 C) a = − 4 D) a = 2

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zapiszmy wzór funkcji f w postaci kanonicznej

( )2 ( 2) f (x) = x2 − ax + 1 = x − a- + 1 − a-- . 2 4

Wykresem tej funkcji jest więc parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku w punkcie ( ) a,1− a2 2 4 . Jeżeli funkcja ta ma przyjmować wartości mniejsze − 3 , to musi być spełniony warunek

2 1 − a--< −3 4 a 2 4 < --- ⇐ ⇒ a ∈ (− ∞ ,− 4)∪ (4 ,+∞ ). 4

Wśród podanych odpowiedzi tylko a = − 5 spełnia ten warunek.

Sposób II

Wiemy, że nierówność

2 x − ax + 1 < − 3 x2 − ax + 4 < 0

ma rozwiązania, więc musi być

0 < Δ = a2 − 16 ⇐ ⇒ a ∈ (− ∞ ,− 4)∪ (4,+ ∞ ).

Wśród podanych odpowiedzi tylko a = − 5 spełnia ten warunek.

Sposób III

Wykresem funkcji f(x) = x 2 − ax + 1 jest parabola o ramionach skierowanych w górę i pierwszej współrzędnej wierzchołka równej

x = a. w 2

Jeżeli funkcja ma przyjmować wartości mniejsze od − 3 , to wartość w wierzchołku musi być mniejsza od tej liczby

(a-) a2- a2- − 3 > f 2 = 4 − 2 + 1 2 a--> 4 ⇐ ⇒ a ∈ (− ∞ ,− 4)∪ (4 ,+∞ ). 4

Wśród podanych odpowiedzi tylko a = − 5 spełnia ten warunek.  
Odpowiedź: B

Wersja PDF