/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje/Kwadratowa/Z parametrem

Zadanie nr 5488458

Dana jest funkcja kwadratowa 2 f(x) = − 0,5(x − p ) − 2p , gdzie p > 0 . Wówczas
A) funkcja osiąga największą wartość równą 2p ;
B) funkcja ma dwa różne miejsca zerowe;
C) wierzchołek paraboli będącej wykresem f należy do prostej o równaniu y = − 2x ;
D) dla p = 1 funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wykresem podanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół (bo współczynnik przy x 2 jest ujemny) i wierzchołku w punkcie (p,− 2p) (odczytujemy współrzędne z postaci kanonicznej f (x) = a(x − xw )2 + yw ).

  • Ponieważ yw = − 2p , największą wartością funkcji f jest − 2p a nie 2p .
  • Dla p > 0 mamy − 2p < 0 , zatem funkcja jest stale ujemna (oba wyrażenia w wzorze na f są ujemne).
  • Ponieważ yw = − 2xw , wierzchołek leży na prostej y = −2x .
  • Dla p = 1 mamy funkcję kwadratową
    f(x) = −0 ,5(x− 1)2 − 2,

    która jest rosnąca na lewo od x = 1 i malejąca na prawo od x = 1 .

 
Odpowiedź: C

Wersja PDF