/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje/Kwadratowa/Z parametrem

Zadanie nr 5943979

Jeśli funkcja kwadratowa 2 f(x) = x + 2x + 3a nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba a spełnia warunek
A) a < − 1 B) − 1 ≤ a < 0 C) 0 ≤ a < 1 3 D) a > 1 3

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zapiszmy wzór funkcji f w postaci kanonicznej

2 2 f (x) = x + 2x + 3a = (x + 1) + (3a− 1).

Wykresem tej funkcji jest więc parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku w punkcie (− 1,3a− 1) . Jeżeli funkcja nie ma miejsc zerowych to jej wykres musi być w całości powyżej osi Ox , tzn.

1 3a − 1 > 0 ⇐ ⇒ a > 3.

Sposób II

Wiemy, że równanie

x2 + 2x+ 3a = 0

nie ma rozwiązań, więc musi być

1- 0 > Δ = 4 − 1 2a ⇐ ⇒ 12a > 4 ⇐ ⇒ a > 3.

Sposób III

Wykresem funkcji 2 f(x) = x + 2x + 3a jest parabola o ramionach skierowanych w górę i pierwszej współrzędnej wierzchołka równej

xw = − 2-= − 1. 2

Jeżeli funkcja nie ma miejsc zerowych to jej wykres musi być w całości powyżej osi Ox , tzn.

0 < f (−1 ) = 1− 2+ 3a = 3a − 1 ⇐ ⇒ 1-< a. 3

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF