/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje/Kwadratowa/Z parametrem

Zadanie nr 7082056

Jeśli wykres funkcji kwadratowej 2 f(x) = x + 2x + 5a przecina prostą y = − 3 , to liczba a spełnia warunek
A) − 1 ≤ a ≤ 0 B) a ≤ − 25 C) − 2 ≤ a ≤ 0 5 D) a ≥ − 2 5

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zapiszmy wzór funkcji f w postaci kanonicznej

2 2 f (x) = x + 2x + 5a = (x + 1) + (5a− 1).

Wykresem tej funkcji jest więc parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku w punkcie (−1 ,5a− 1) . Jeżeli wykres tej funkcji przecina prostą y = − 3 , to wierzchołek paraboli nie może leżeć powyżej tej prostej, tzn.

2- 5a − 1 ≤ − 3 ⇐ ⇒ a ≤ − 5 .

Sposób II

Wykres funkcji f przycina prostą y = − 3 wtedy i tylko wtedy, gdy równanie

f(x) = − 3 2 x + 2x+ 5a = − 3 x2 + 2x+ 5a + 3 = 0

ma rozwiązanie. Aby tak było musi być spełniony warunek

0 ≤ Δ = 4 − 4 (5a+ 3) / : 4 0 ≤ 1− (5a+ 3) 2 5a ≤ − 2 ⇐ ⇒ a ≤ − 5.

Sposób III

Wykresem funkcji f(x) = x 2 + 2x + 5a jest parabola o ramionach skierowanych w górę i pierwszej współrzędnej wierzchołka równej

2- xw = − 2 = − 1.

Jeżeli wykres tej funkcji przecina prostą y = − 3 , to wierzchołek paraboli nie może leżeć powyżej tej prostej, tzn.

2- − 3 ≥ f(− 1) = 1 − 2 + 5a = 5a− 1 ⇐ ⇒ − 5 ≥ a.

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF