/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje/Kwadratowa/Z parametrem

Zadanie nr 9933678

Jeśli funkcja kwadratowa 2 f(x) = −x + 2x + 3a nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba a spełnia warunek
A) a < − 13 B) 0 < a ≤ 1 C) − 1 < a ≤ 0 3 D) a > − 1 3

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zapiszmy wzór funkcji f w postaci kanonicznej

2 2 f(x) = −x + 2x + 3a = − (x− 1) + (3a+ 1).

Wykresem tej funkcji jest więc parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punkcie (1,3a+ 1) . Jeżeli funkcja nie ma miejsc zerowych to jej wykres musi być w całości poniżej osi Ox , tzn.

1- 3a + 1 < 0 ⇐ ⇒ a < − 3.

Sposób II

Wiemy, że równanie

2 −x + 2x+ 3a = 0

nie ma rozwiązań, więc musi być

0 > Δ = 4+ 12a ⇐ ⇒ 12a < − 4 ⇐ ⇒ a < − 1. 3

Sposób III

Wykresem funkcji 2 f(x) = −x + 2x + 3a jest parabola o ramionach skierowanych w dół i pierwszej współrzędnej wierzchołka równej

2 xw = − ----= 1. − 2

Jeżeli funkcja nie ma miejsc zerowych to jej wykres musi być w całości poniżej osi Ox , tzn.

0 > f (1) = − 1+ 2+ 3a = 3a + 1 ⇐ ⇒ a < − 1. 3

 
Odpowiedź: A

Wersja PDF