Zadanie nr 3646454

Liczba ∘ ∘ cos1 5 + sin 15 jest równa
A) √ -- --10 4 B) √ -- --10- 2 C) √ - --6 4 D) √-6 2

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzorów

sin(90∘ − α) = co sα α-+-β- α−--β- cosα + co sβ = 2 cos 2 cos 2 cos(− α) = co sα.

Mamy zatem

cos 15∘ + sin 15∘ = cos15∘ + sin(90 ∘ − 75 ∘) = cos1 5∘ + cos75∘ = ∘ ∘ ∘ ∘ = 2cos 15--+-75--cos 15--−-75--= 2cos 45∘co s30∘ = 2 2 √ 2- √ 3- √ 6- = 2⋅ ---⋅ ----= ---. 2 2 2

Sposób II

Korzystamy ze wzorów

co s(α− β) = cos αco sβ + sin βsin α sin (α− β) = sin αcos β − sinβ cos α.

Mamy więc

cos1 5∘ + sin 15∘ = co s(45∘ − 30∘)+ sin (45∘ − 30∘) = ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ = co s4(5 cos30 + sin 45 si)n 30 + sin45 cos 30 − sin 30 cos4 5 = √ 2- √ 3- 1 √ 3- 1 √ 2- √ -- √ 6- = ---- ---+ --+ ----− -- = ----⋅ 3 = ---. 2 2 2 2 2 2 2

Sposób III

Tym razem użyjemy jedynki trygonometrycznej i wzoru

sin 2α = 2 sinα cos α.

Mamy więc

∘ ∘ 2 x = co s15 + sin1 5 /() x2 = co s215∘ + 2 sin 15∘ cos15 ∘ + sin2 15∘ x2 = 1 + sin 30∘ = 1 + 1-= 3- ∘ -- √ -- 2 2 3 6 x = --= ---. 2 2

Odpowiedź: D