/Studia/Analiza/Całki oznaczone/Niewłaściwe/Z pierwiastkami

Zadanie nr 5958061

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ 1 dx √-------- 0 x − x2 .

Rozwiązanie

Funkcja podcałkowa ma dwa punkty osobliwe w miejscach zerowych mianownika x = 0 i x = 1 .

Liczymy całkę nieoznaczoną.

∫ ∫ ∫ ∫ √--dx----= ∘------dx------- --∘-----dx--------= ∘-----2dx--------= x − x2 1 1 2 1 1 − (2x − 1)2 1− (2x − 1)2 4 − (x − 2) 2 ||t = 2x − 1 || ∫ dt = || || = √------- = a rcsin t+ C = arcsin(2x − 1) + C . dt = 2dx 1 − t2

Stąd

∫ 1 --dx----- 1 π- π- 0 √x-−--x2-= [arcsin(2x − 1)]0 = arcsin1 − a rcsin(− 1) = 2 + 2 = π.

 
Odpowiedź: π

Wersja PDF