/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje - wykresy/Parabola/Punkty wspólne z prostymi

Zadanie nr 8097624

Prosta o równaniu y = a ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej f(x) = − 14 x2 + 3x+ 2 . Wynika stąd, że
A) a = 6 B) a = 11 C) a = 1 D) a = 2

Wersja PDF

Rozwiązanie

Możemy zacząć od zrobienia szkicowego rysunku.

PIC

Sposób I

Wykresem podanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, a wykresem y = a jest pozioma prosta. Powinno być teraz jasne, że te dwa wykresy będą miały dokładnie jeden punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy prosta ta przechodzi przez wierzchołek paraboli. Innymi słowy, a musi być równe drugiej współrzędnej wierzchołka podanej paraboli. Zatem

a = yw = −-Δ-= −-(9-+-2) = 1 1. 4a − 1

Sposób II

Zamiast szkicować obrazki, podstawmy y = a do wzoru paraboli i sprawdźmy, kiedy otrzymane równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

1 a = − -x2 + 3x + 2 4 1-2 0 = − 4x + 3x + 2 − a.

Teraz sprawdzamy kiedy Δ = 0 .

0 = Δ = 9+ (2− a) = 11 − a ⇐ ⇒ a = 11.

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF