/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje - wykresy/Parabola/Punkty wspólne z prostymi

Zadanie nr 9664391

Prosta o równaniu y = m ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej f(x) = (2 − x )(4 + x ) dla
A) m = − 9 B) m = 9 C) m = − 10 D) m = 10

Wersja PDF

Rozwiązanie

Możemy zacząć od zrobienia szkicowego rysunku.

PIC

Sposób I

Wykresem podanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, a wykresem y = a jest pozioma prosta. Powinno być teraz jasne, że te dwa wykresy będą miały dokładnie jeden punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy prosta ta przechodzi przez wierzchołek paraboli. Innymi słowy, a musi być równe drugiej współrzędnej wierzchołka podanej paraboli.

Pierwsza współrzędna to

xw = 2-+-(−-4) = − 1 2

(jest dokładnie w środku między pierwiastkami), a więc druga współrzędna wierzchołka jest równa

yw = f(xw ) = f (−1 ) = 3⋅3 = 9.

Zatem musi być m = 9 .

Sposób II

Zamiast szkicować obrazki, podstawmy y = m do wzoru paraboli i sprawdźmy, kiedy otrzymane równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

m = (2 − x)(4 + x) = −x 2 − 2x+ 8 2 0 = x − 2x + (8− m).

Teraz sprawdzamy kiedy Δ = 0 .

0 = Δ = 4+ 4(8− m) = 4(9− m) ⇐ ⇒ m = 9.

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF