/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Punkty wspólne z prostymi

Zadanie nr 2423104

Ile punktów wspólnych ma prosta k : x+ y+ 1 = 0 z okręgiem o : (x + 3)2 + (y − 3)2 = 4 ?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Z równania prostej wyznaczamy

y = −x − 1

i podstawiamy to wyrażenie do równania okręgu.

2 2 (x+ 3) + (−x − 1− 3 ) = 1 x2 + 6x + 9+ (− 1)2(x+ 4)2 = 1 x2 + 6x + 9+ x2 + 8x + 16 = 1 / − 1 2 2x + 14x + 24 = 0 / : 2 x2 + 7x + 12 = 0 2 Δ = 7 − 4 ⋅12 = 49− 48 = 1.

Ponieważ wyróżnik jest dodatni, równanie ma dwa rozwiązania. Zatem prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne.

Sposób II

Dany okrąg to okrąg o środku (− 3,3) i promieniu r = 2 , a dana prosta y = −x − 1 to prosta y = −x przesunięta o jedną jednostkę w dół. Łatwo teraz wykonać szkicowy rysunek.

PIC

Z obrazka widać, że prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne.  
Odpowiedź: C

Wersja PDF