/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Punkty wspólne z prostymi

Zadanie nr 6742854

Ile punktów wspólnych ma prosta k : x+ y+ 1 = 0 z okręgiem o : (x − 1)2 + (y + 2)2 = 1 ?
A) 3 B) 2 C) 1 D) 0

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Z równania prostej wyznaczamy

y = −x − 1

i podstawiamy to wyrażenie do równania okręgu.

2 2 (x − 1) + (−x − 1 + 2) = 1 x2 − 2x + 1 + (−x + 1)2 = 1 x2 − 2x + 1 + x 2 − 2x + 1 = 1 / − 1 2 2x − 4x + 1 = 0 Δ = (− 4)2 − 4⋅ 2 = 16 − 8 = 8.

Ponieważ wyróżnik jest dodatni, równanie ma dwa rozwiązania. Zatem prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne.

Sposób II

Dany okrąg to okrąg o środku (1,− 2) i promieniu r = 1 , a dana prosta y = −x − 1 to prosta y = −x przesunięta o jedną jednostkę w dół. Łatwo teraz wykonać szkicowy rysunek.

PIC

Z obrazka widać, że prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne.  
Odpowiedź: B

Wersja PDF