/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Geometria analityczna/Równanie prostej/Proste równoległe

Zadanie nr 6329678

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) , dane są punkty A = (− 2,3) i B = (m ,2m ) , gdzie m jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta k o równaniu y = x + 1 . Prosta przechodząca przez punkty A i B jest równoległa do prostej k , gdy
A) m = 5 B) 5 m = 3 C) m = − 3 D) m = 1

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Prosta równoległa do prostej y = x+ 1 ma równanie postaci y = x+ b . Jeżeli ta prosta ma przechodzić przez punkt A = (− 2,3) , to

3 = −2 + b ⇒ b = 5.

Prosta AB ma więc równanie y = x + 5 . Pozostało sprawdzić, dla jakiej wartości m punkt B jest na tej prostej.

2m = m + 5 ⇐ ⇒ m = 5.

Sposób II

Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy

y − y 2m − 3 a = -b----a-= -------. xb − xa m + 2

Prosta ta ma być równoległa do prostej y = x + 1 , więc

1 = a = 2m--−-3 m + 2 m + 2 = 2m − 3 5 = m.

Sposób III

Napiszmy równanie prostej AB . Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów A i B .

{ 3 = − 2a + b 2m = ma + b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

2m − 3 2m − 3 = (m + 2)a ⇒ a = -------. m + 2

Współczynnika b możemy nie obliczać, bo nie jest nam potrzebny. Prosta ta ma być równoległa do prostej y = x + 1 , więc a = 1 . Dalej postępujemy identycznie jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: A

Wersja PDF