Zadanie nr 3185218

Pole trójkąta ABC przedstawionego na rysunku jest równe

A) √ -- 1 + 3 B) √ -- 3 2 C) √ -- 2 + 2 D) √ -- 2 3

Rozwiązanie

Sposób I

Dorysujmy wysokość opuszczoną na bok .

Trójkąt ADC to połówka kwadratu, a trójkąt CDB to połówka trójkąta równobocznego o boku BC = 2CD . Mamy zatem

AC 2 √ -- CD = √---= √---= 2 2 2√ -- BC = 2CD = 2 2.

Stąd

√ -- 1 ( √ -)2 1 BC 2 ⋅ 3 √ -- PABC = PADC + PBDC = --⋅ 2 + --⋅ ---------= 1+ 3. 2 2 4

Sposób II

Obliczamy najpierw miarę trzeciego kąta trójkąta.

∘ ∘ ∘ ∘ ∡B = 180 − 45 − 105 = 30 .

Na mocy twierdzenia sinusów mamy

--BC--- -AC---- sin 45∘ = sin ∡B √ -- -- BC = -AC----⋅sin45 ∘ = 2-⋅--2-= 2√ 2. sin ∡B 1 2 2

Zauważmy jeszcze, że

sin1 05∘ = sin(60∘ + 45∘) = sin 60∘ cos45 ∘ + sin 45∘co s60∘ = √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- = --3-⋅ --2+ --2-⋅ 1-= --6-+---2. 2 2 2 2 4

Pole trójkąta jest więc równe

1- ∘ PABC = 2AC ⋅ BC ⋅sin 105 = √ -- √ -- √ -- -- = 1-⋅2 ⋅2 2 ⋅--6-+---2-= √ 3+ 1. 2 4

Odpowiedź: A