/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Różne

Zadanie nr 4515403

Punkt O jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC oraz |AB | = 20 , |BC | = 18 . Prosta BO przecina bok AC trójkąta ABC w punkcie D (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Proste BD i AC są prostopadłe. PF
Stosunek pól trójkątów BCD i BAD jest równy 0,9.PF
Wersja PDF

Rozwiązanie

Środek okręgu wpisanego w trójkąt jest punktem wspólnym jego dwusiecznych, więc BD jest dwusieczną kąta ABC . Gdyby to była jednocześnie wysokość tego trójkąta, to wtedy trójkąty ABD i BDC byłyby przystające, czyli AB = BC , a tak nie jest.

Na mocy twierdzenia o dwusiecznej, mamy

CD CB 1 8 ---- = ----= --- = 0,9. AD AB 2 0

Teraz wystarczy zauważyć, że trójkąty BCD i BAD mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka B , więc

PBCD--= CD-- = 0,9. PBAD AD

 
Odpowiedź: F, P

Wersja PDF