Zadanie nr 5373821
Punkt jest punktem wspólnym prostych prostopadłych
i
o równaniach
oraz
. Wykaż, że jeżeli
i
, to druga współrzędna punktu
jest liczbą dodatnią.
Rozwiązanie
Sposób I
Ponieważ proste i
są prostopadłe, to
i współrzędne punktu
są rozwiązaniami układu równań

Mnożymy teraz drugie równanie przez i dodajemy je do pierwszego równania.

Ponieważ i
liczba ta jest oczywiście dodatnia.
Sposób II
Jeżeli i
są punktami, w których proste
i
przecinają oś
, to trójkąt
jest trójkątem prostokątnym, którego przeciwprostokątna
jest zawarta w dodatniej półosi osi
(bo
i
).

To oznacza, że punkt leży pomiędzy prostymi
i
, czyli jego druga współrzędna jest dodatnia.