/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Równanie prostej/Wzajemne położenie prostych/Różne

Zadanie nr 5373821

Punkt jest punktem wspólnym prostych prostopadłych i o równaniach y = ax+ b oraz y = cx + d . Wykaż, że jeżeli b > 0 i d > 0 , to druga współrzędna punktu jest liczbą dodatnią.

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ proste i są prostopadłe, to 1 c = − a i współrzędne punktu są rozwiązaniami układu równań

{ y = ax + b y = − 1x + d a

Mnożymy teraz drugie równanie przez 2 a i dodajemy je do pierwszego równania.

2 2 y + ya = ax + b − ax + a d y (1+ a2) = b+ a2d / : (1+ a 2) b-+-a2d- y = 1+ a2 .

Ponieważ b > 0 i d > 0 liczba ta jest oczywiście dodatnia.

Sposób II

Jeżeli B = (0,b) i D = (0,d) są punktami, w których proste i przecinają oś , to trójkąt ABD jest trójkątem prostokątnym, którego przeciwprostokątna jest zawarta w dodatniej półosi osi (bo b > 0 i d > 0 ).