Zadanie nr 7074037
Wykaż, że cosinus kąta przecięcia się wykresów funkcji i
jest równy
.
Rozwiązanie
Oczywiście na początku szkicujemy obrazek.
Sposób I
Zauważmy, że korzystając ze wzoru na tangens różnicy, dość łatwo jest wyliczyć tangens interesującego nas kąta. Z trójkąta łatwo zauważyć, że

Naturalne teraz byłoby wyliczenie z tego tangens cosinusa, ale my zrobimy inaczej. Z podanego w zadaniu cosinusa wyliczymy tangens i sprawdzimy, że jest on równy powyższemu wyrażeniu. Liczymy najpierw sinus

Zatem tangens jest równy

Pozostało porównać to z wcześniej otrzymanym wyrażeniem.

Zatem wszystko się zgadza. Zauważmy, że mogliśmy równość podnieść stronami do kwadratu, bo obie strony były dodatnie.
Sposób II
Tak jak w poprzednim sposobie zauważamy, że . Tym razem skorzystamy jednak ze wzoru na cosinus różnicy.

Wiemy, że oraz
. Mamy zatem

Podobnie wyliczamy i
. Musimy jedynie pamiętać, że
.

Mamy więc
