/Studia/Analiza/Całki oznaczone/Z pierwiastkami

Zadanie nr 8825905

Oblicz całkę ∫ 1 √ ------- 1+ 2xdx 0 .

Rozwiązanie

Sposób I

Liczymy najpierw całkę nieoznaczoną (przez podstawienie).

∫ √ ------- || 2 || ∫ 1 1∘ ---------- 1 + 2xdx = ||t = 2x + 1 || = t2dt = --t3 = -- (1+ 2x )3. 2tdt = 2dx 3 3

Teraz obliczamy całkę oznaczoną

∫ 1√ ------- 1[ ∘ ---------]1 1 √ --- √ -- 1 1 + 2xdx = -- (1+ 2x)3 = -( 27 − 1) = 3− -- 0 3 0 3 3

Sposób II

Jak poprzednio podstawiamy t2 = 2x+ 1 . Aby obliczyć nowe granice całkowania, wstawiamy x = 0 i x = 1 do wzoru t2 = 2x + 1 . Aby móc jednoznacznie wyliczyć , możemy dodatkowo założyć, że t ≥ 0 , czyli po zmianie zmiennej będziemy całkować w przedziale √ -- [0, 3] . Mamy zatem